02. 인수분해

Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해

1 다음 다항식을 인수분해하시오.

⑴ [eqn: a ^{3} +125b ^{3}]

⑵ [eqn: a ^{3} -6a ^{2} +12a-8]

⑶ [eqn: 8x ^{3} +12x ^{2} y+6xy ^{2} +y ^{3}]

⑷ [eqn: 4a ^{2} +b ^{2} +9c ^{2} -4ab-6bc+12ca]

2 [eqn: x^4 -18x^2 +81]을 인수분해하면 [eqn: (x+a)^2 (x-b)^2]일 때, 양수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값을 구하시오.

3 다음 보기 중 다항식

[eqn: (x^2 -2x-3)(x^2 -2x-8)-24]의 인수를 모두 고르시오.

	보기
ㄱ. [eqn: x~] ㄴ. [eqn: x+2] ㄷ. [eqn: x-2] ㄹ. [eqn: x ^{2} -2x] ㅁ. [eqn: x ^{2} +2x-11] ㅂ. [eqn: x ^{2} -2x-11]

4 인수분해를 이용하여 [eqn: {999 ^{3} +1} over {998 TIMES 999+1}]의 값을 구하시오.

5 다음은 인수정리를 이용하여 다항식

[eqn: P(x)=x ^{3} +6x ^{2} +11x+6]을 인수분해하는 과정이다. 빈칸에 알맞은 수를 써넣으시오.

[eqn: P(-1)=-1+6-11+6=0]이므로 [eqn: P(x)]는

[eqn: x+]을 인수로 가진다.

	[eqn: 1]	[eqn: 6]	[eqn: 11]	[eqn: 6]
				[eqn: -6]
	[eqn: 1]			[eqn: 0]

따라서   [eqn: x ^{3} +6x ^{2} +11x+6]

[eqn: =(x+][eqn: )(x ^{2} +][eqn: x+][eqn: )]

[eqn: =(x+][eqn: )(x+][eqn: )(x+3)]

6 다항식 [eqn: x ^{3} -31x-30]을 인수분해하였더니

[eqn: (x+a)(x+b)(x+c)]가 되었다. 상수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: c over a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a<b<c])

7 다음 다항식을 인수분해하시오.

[eqn: x^4 +2x^3 -7x^2 -8x+12]

5  [eqn: P(-1)=-1+6-11+6=0]이므로 [eqn: P(x)]는

[eqn: x+box {```1```}]을 인수로 가진다.

[eqn: box{`-1`}]	[eqn: 1]	[eqn: 6]	[eqn: 11]	[eqn: 6]
		[eqn: box{`-1`}]	[eqn: box{`-5`}]	[eqn: -6]
	[eqn: 1]	[eqn: box{`~5~`}]	[eqn: box{~`6`~}`]	[eqn: 0]

따라서   [eqn: x ^{3} +6x ^{2} +11x+6]

[eqn: =(x+box{````1```}][eqn: )(x ^{2} +box{````5```}`x+box{````6```}][eqn: )]

[eqn: =(x+][eqn: box{````1```}][eqn: )(x+][eqn: box{````2```}][eqn: )(x+3)]

6  [eqn: P(x)=x ^{3} -31x-30]이라고 하면 [eqn: P(-1)=0]이므로

[eqn: x ^{3} -31x-30& =(x+1)(x ^{2} -x-30)#& =(x+1)(x+5)(x-6)]
[eqn: a<b<c]이므로  [eqn: a=-6,~b=1,~c=5]
따라서  [eqn: c over a+b =-1]

7 [eqn: P(x)=x ^{4} +2x ^{3} -7x ^{2} -8x+12]라고 하면

[eqn: P(1)=0], [eqn: P(2)=0]이므로

[eqn: x ^{4} +2x ^{3} -7x ^{2} -8x+12# =(x-1)(x-2)(x ^{2} +5x+6)# =(x-1)(x-2)(x+2)(x+3)]

[eqn: bold{-]2. 나머지정리와 인수분해

I

02. 인수분해

1  ⑴ [eqn: (a+5b)(a ^{2} -5ab+25b ^{2} )]

⑵ [eqn: (a-2) ^{3}]

⑶ [eqn: (2x+y) ^{3}]

⑷ [eqn: (2a-b+3c) ^{2}]

2  [eqn: x ^{2} =X]로 놓으면

[eqn: x ^{4} -18x ^{2} +81& =X ^{2} -18X+81#& =(X-9)^2#& =(x ^{2} -9)^2#& =(x+3)^2 (x-3)^2]
따라서 [eqn: a=3,~b=3]이므로  [eqn: a-b=0]

3  [eqn: x ^{2} -2x=X]로 놓으면
[eqn: (x ^{2} -2x-3)(x ^{2} -2x-8)-24# =(X-3)(X-8)-24#=X ^{2} -11X# =X(X-11)#=(x ^{2} -2x)(x ^{2} -2x-11)# =x(x-2)(x ^{2} -2x-11)]

따라서 인수인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅂ이다.

4  [eqn: 999=x]라고 하면

[eqn: {999 ^{3} +1} over {998 TIMES 999+1}&= {x ^{3} +1} over {(x-1) x+1}#& = {(x+1)(x ^{2} -x+1)} over {x ^{2} -x+1}#& =x+1#& =999+1=1000]